Karmaşık Sayılar Tarihçesi

Kompleks sayıların (a + ib, a ve b reel sayılar ve f= -1) tarihsel öyküsü, insanların bilimsel olaylara yaklaşımının zamanla nasıl değiştiğini anlamamıza ışık tutuyor. Sayma ve sayı kavramı, onbinlerce yıl önce bilinmesine rağmen, negatif sayıların varlığı Avrupada ancak 16. yüzyılda benimsendi.

Negatif sayılara bakışın negatif olduğu dönemlerde karesi -1 olan bir sayının varlığı elbette kabul edilemezdi. Ancak günümüzde karesi -1 olan bir sayının varlığının da en az reel sayılar kadar gerçek ve tartışılmaz olduğu biliniyor.

Sayıların evrensel tarihi bir bakıma insanlığın olayla­rı algılama ve kavrama tari­hidir. Sayma ve sayılarla ilgili ilk bilgiler günü­müzden yaklaşık 35.000 yıl öncesine dayanı­yor. Negatif sayıların ise ilk kez M.Ö. 2. yüzyılda Çinliler tarafından kullanıldığını görüyoruz. Bu sayıların Avrupa’ya ulaşması ise ancak 16. yüz­yılda mümkün oldu. Tarihte 1,2, 3,4, 5,… gibi sayma sayıları dışındaki sayılara karşı uzun sü­ren bir direnç olduğunu ve kolayca kabul edil­mediğini görüyoruz. Örneğin V2 gibi a/b şek­linde ifade edilemeyen sayılar için Yunanlılar ‘irrasyonel’ (rasyonel olmayan, akla aykırı) ifa­desini kullanıyordu. Matematiğin daha çok ol­gulara dayandığı dönemlerde negatif sayıları kabul etmek kolay değildi. Çünkü somut ola­rak 3 elmadan 5 elmayı çıkarmak imkânsızdı ve insanlar da böyle düşünüyorlardı. İskende­riyeli ünlü matematikçi Diophantus bile Arithmetica isimli eserinde 4x + 20 = 0 denkleminin çözümü için ‘absürd’ ifadesini kullanmıştı. Ti­caretin gelişmesi ve borçlanmanın yaygınlaş­masıyla negatif sayıların kullanılması işleri ko­laylaştırıyordu. Ancak yine de negatif sayılara bakış yüzyıllar boyunca adı gibi negatif oldu. Kuşkusuz bu dönemlerde karesi negatif olan bir sayının varlığı kabul edilemezdi.

Özellikle ikinci dereceden denklemlerin (ax2 + bx=c) çözümüyle uğraşan her matema­tikçi daha önceki sayılardan farklı bir durum­la karşılaşıyordu. Örneğin x2 + 7 = 0 yani bir sa­yının kendisiyle çarpımına 1 eklediğimizde sı­fır elde edilmesi gibi. Bu denklemin çözümün­de x2 = -1 ve x=V-1 elde edilir. Bu sonucu gö­ren matematikçiler çözümün olmadığını belir­tip konuyu kapatıyorlardı.

Diophantus ve daha sonra Hintli matema­tikçi Brahmagupta ikinci dereceden denklem­lerin çözümüyle ilgili önemli bilgiler verdiler. Ancak önceki matematikçilerden farklı olarak genel çözümün Harizmi (Ebu Abdullah Mu- hammed bin Musa el-Harizmi) (780 – 850) ta­rafından verildiğini görüyoruz. Bu dönemler­de matematikçiler denklem çözümlerinde da­ha çok geometrik yaklaşımları benimsiyorlar­dı ve o yüzden karesi negatif olan bir sayının olamayacağını düşünüyorlardı.

İskenderiyeli matematikçi ve mühen­dis Heron’un (10 – 70) kesik piramit şeklin­deki cismlerin hacmini hesaplarken kare­si -1 olan bir sayı ile karşılaştığı ve bunu ilk fark eden matematikçi olduğu iddia edili­yor. Heron’dan sonra Diophantus’un da sa­dece kesik piramit değil diğer geometrik he­saplamalarda da bu sayılarla karşılaştığı iddia ediliyor. Ancak bu döneme kadar matema­tikçilerin bu sayıların varlığını kabul ettikle­rine dair somut bir bilgi yok. Hatta 9. yüzyıl­da Hintli matematikçi Mahaviracarya negatif sayıların köklerinin olmayacağını yani karesi negatif olan bir sayının bulunmadığını kesin bir dille ifade ediyordu.

Mısır’da bulunan bir papirüs gerçeğin farklı olabileceğini gösteriyor. Birçok yönüy­le hâlâ gizemini koruyan antik çağ uygarlık­ları hakkında bilgilerimiz arttıkça, onların sa­nıldığı gibi pek de geri olmadıkları hatta çok illeri düzeyde bazı kavramları bildiklerini gö­rüyoruz. 1878 yılında Mısır’da bir mezarı so­yan hırsızlar buldukları papirüsleri Rus asıl­lı Antik Mısır uzmanı V.S. Golenishchev’e sat­tılar. Golenishchev 1912 yılında bu papirüs­leri Moskova Güzel sanatlar müzesine verdi. Papirüs burada incelendi ve 1930 yılında çevirisi tamamlandığında, papirüslerin yazıldığı dönemde­ki Mısır matematiği hakkında, çok önemli bilgilere ula­şıldı. Günümüzde Moskova Matematik Papirüsü olarak da bilinen papirüsün M.Ö. 1850′li yıllarda yazıldığı tah­min ediliyor. Papirüsteki bilgilere göre kesik bir pirami­din hacminin nasıl hesaplanacağı o dönemde biliniyor­du. Moskova Matematik Papirüsündeki bilgilerden yola çıkan bazı bilim insanları eski mısırlıların karesi -1 olan sayıları bildiklerini veya benzer bir durumla karşılaştık­larını iddia etiler. Böyle bir durumla karşılaşmışlarsa da muhtemelen bunu anlamsız bulmuşlar.

Sanılanın aksine, negatif sayıların karekökü ikinci dereceden değil, üçüncü dereceden (ax3 + bx2 + cx = d) denklemlerin çözümü sırasında ciddi olarak düşünülme­ye başlandı. İkinci dereceden denklemlerin çözümünde karesi -1 gibi negatif bir sayının olamayacağı düşünüle­rek çözümün olmadığı kabul edilmişti. Belki bu dönem­de insanlar karesi negatif bir sayı olan yeni bir sayıyı kav­ramsal olarak benimsemiyordu ve çözümün olmadığını kabul etmek daha cazip geliyordu. Ancak üçüncü dere­ceden denklemlerin çözümünde durum farklıydı. Çünkü böyle bir sayının varlığı veya benzer bir yaklaşım, çözüm­de büyük kolaylıklar sağlıyordu. Ancak bu o kadar da ko­lay olmadı. Örneğin üçüncü dereceden denklemlerin çö­zümüyle uğraşan ilk matematikçilerden biri olan Ömer Hayyam’ın (1048 – 1131) bu sayılarla ilgili bilgisinin olup olmadığı bilinmiyor. Ömer Hayyam’dan sonra gelen Le- onardo da Pisa (Fibonacci) (1170-1250), Nicolo Tartaglia (1499-1557) gibi matematikçilerin d e x = 7 gibi bir sayı hakkında somut çalışma yapıp yapmadıkları bilinmiyor.

Mısır papirüslerini başlangıç olarak alırsak yaklaşık 3400 yıl boyunca insanlar bu sayıların varlığını inkâr etti­ler. Yok sayıldı, böyle bir şey olamaz denildi. Hatta bu ko­nuda ilk önemli adımı atan İtalyan matematikçi Gerola- mo Cardano (1501 – 1576) bile bunlar için ‘akıl işkencesi’ tabirini kullandı.

Cardano kompleks sayıların cebirde kullanılmasını sağlayan ilk bilim insanı olarak biliniyor. Ancak Cardano bu konuyu Ars Magna (Büyük Sanat) adlı eserinde detaylı olarak ele almadı. Cardano’dan sonra Rafael Bombelli’nin konuyu daha detaylı ele aldığını görüyoruz. Bombel- li kompleks sayıları kullanarak üçüncü dereceden denk­lemlerin köklerini daha kolay bulduğunu belirtmişti.

Cardano’ya kadar geçen süre kompleks sayıların ilk dönemi sayılabilir. Bu döneme kadar varlığı kabul edil­meyen bu sayılar artık inkâr edilemez bir biçimde etki­sini hissetiriyordu.

1637 yılında Fransız filozof Rene Decartes (1596 – 1650) ilk kez bu sayılar için ‘imaginery’ terimini kullan­dı ve negatif bir sayının karekökünü ‘sanal’ olarak nite­ledi. Ona göre herhangi bir hesaplamada sanal sayıların bulunması, gerçekte, çözümün olmadığı anlamına geli­yordu. Bu konuda Isaac Newton da Decartes’la aynı ka­nıdaydı.

18. ve 19. yüzyıllarda kompleks sayılar adeta altın ça­ğını yaşadı ve çok sayıda matematikçi bu sayılarla ilgi­lendi: Leonhard Euler, Abraham de Moivre, Cari Friedrich Gauss, VVilliam Rowan Hamilton, Augustin Louis Cauchy, Bernhard Rieman, Kari VVeierstrass ve daha niceleri.

Leonard Euler (1707 – 1783) ilk kez kompleks sayı­lar için i = V-1 kavramlaştırmasını kullandı. Cardano’dan Euler’e kadar geçen dönemi kompleks sayıların ikinci dönemi olarak kabul edebiliriz. Önce varlığı kabul edil­meyen, sonra üçüncü dereceden denklemlerin çözü­münde büyük kolaylıklar sağladığı için üşenerek de ol­sa kabul edilen ve daha sonra çok sayıda matematikçinin üzerinde çalıştığı ve adeta kimliğini aydınlattığı bu sayılar, Euler’le birlilkte artık üçüncü dönemine giriyordu. Bu dönemde kompleks sayılar adeta kurtarıcı rolünde, çok sayıda zor problemin kolay çözümünde anahtar rol üst­lenmişti. Kompleks sayıların bulunması ve buna dayalı kompleks analiz, matematikte görünürde birbirleri ile il­gisi olmayan çok sayıda farklı konu veya nicelikler arasın­da bağıntı bulmayı son derece kolaylaştırıyordu. Euler’in 1748 yılında bulduğu eşitlik buna en güzel örnektir. Euler, bütün reel 6 (theta)’lar için

ei0 = CosG + i sinG olduğunu ispatladı. Bu eşitlik sol­daki kompleks değerli üs fonksiyonu ile trigonometrinin normal reel değerli sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasın­daki bir bağlantıyı ifade ediyor.

Abraham de Moivre (1667 – 1754) kendi adıyla bili­nen formülü kullandığında adeta kompleks sayılar için gerçek anlamda hoş geldin partisi veriyordu. (Cos(0) + i sin(9))n = Cos(nÖ) + i sin(n9), n bir tamsayı.

Trigonometrik fonksiyonlarla işlem yapmanın ne ka­dar zor olduğunu eminim matematikle uğraşan herkes bilir ve yukarıdaki formül, hesaplamalarda inanılmaz ko­laylık sağlıyor. Sanal kabul edilen, varlığı tartışılan ve ço­ğu zaman red edilen bu sayılar de Moivre formülü ile matematikte güçlü bir şekilde yerini alıyordu.

Matematikçiler prensi olarak kabul edilen Gauss, bu sayılar için ‘kompleks sayılar’ ifadesini kullandı. Komp­leks sayıların ne tamamen reel ne de tamamen sanal ol­madığı görüldü. Aksine ikisinin karışımıydılar. Gauss’un çalışmalarıyla kompleks sayılara adeta resmiyet kazandı­rıldı. Gauss, kompleks sayıları bir düzlem üzerindeki nok­talar şeklinde düşünerek matematiğin ‘kompleks analiz’ denilen dalının temellerini attı. Benzer çalışmaları daha önce Norveçli matematikçi Casper VVessel de yapmıştı. 1837 yılında VVilliam R. Hamilton, Gauss’un çalışmalarını geliştirerek kompleks sayıları (x,y) koordinatları ile belir­ledi ve bu sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinin yo­lunu açtı. Gauss ve Hamilton’ın çalışmaları sayılar dünya­sı için çok önemli gelişmelerdi. Reel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilirken kompleks sayılar düzlem üzerin­de gösteriliyordu. Reel sayılardan daha geniş olan komp­leks sayılar bilinen tüm sayıları kapsıyordu. Kari VVeiers- trass kompleks analize tam bir kesinlik kazandırdı ve adeta matematik binasındaki kompleks sayılar dairesi­nin tapusunu verdi. Rieman, kompleks analizin geomet­rik teorisini geliştirdi ve günümüzde hâlâ çözüm bekle­yen ünlü ‘Rieman Hipotezi’ni 1859 yılında ortaya attı.

24 Mayıs 2000 yılında Paris’te yapılan bir toplantı­da Clay Matematik Enstitüsü milenyumun 7 problemi­ni anons ediyordu. Bunlar için 7 milyon dolarlık ödül ko­nulmuştu. Yani her bir problemi çözene 1 milyon dolar ödül verilecekti. Bu problemlerden biri de 1859 yılında Rieman tarafından ortaya atılan ‘Rieman Hipotezi’dir ve hâlâ çözülmemiştir. Eğer bu problemi çözerseniz ve çö­zümünüz de onaylanırsa 1 milyon doları alabilirsiniz.

Kompleks sayılarla sayı dünyasına son noktayı koy­duk mu? Kuşkusuz hayır. Bilim insanları karşılaştığı prob­lemlerin çözümünde yeni sayılara ihtiyaç duyarlarsa bunları elbette kullanacaklar. Bereket ki eskisi gibi direnç yok. Karesi -1 olan bir sayının olamayacağı uzun süre ka­bul edildi. Peki ya sıfırdan farklı fakat karesi sıfır olan bir sayı var mı? Eminim cevabınız biraz şaşkınlıla’tabi ki ola­maz’şeklindedir. Ancak böyle bir sayı var. VVilliam King- don Clifford (1845 – 1879) tarafından geliştirilen ‘dual sa­yılar’da kompleks sayılara benzer şekilde a + ub şeklin­de gösteriliyor; a ve b reel, cü sıfırdan farklı fakat kare­si sıfır olan sayı. Kompleks sayılarla dual sayıları bir ara­ya getirdiğimizde a+ib+tuc+icod şeklinde yeni bir sayı el­de edebiliriz. Bu yeni sayılar kompleks sayıları da kapsı­yor ve daha geniş bir sayı kümesi.

Sizler de karşılaştığınız bir problemi çözmek veya bi­limsel bir olayı açıklamak için uygun bir sayı sistemi ge­liştirebilirsiniz. O zaman geliştirdiğiniz sayı kümesi belki de daha geniş bir küme olacak. Neden olmasın?

Kaynak: enqenisbilgi.wordpress.com